Trouver le diviseur - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{N}\) . Le reste dans la division euclidienne de \(799\) par \(n\) vaut \(19\) . Le reste dans la division euclidienne de \(891\) par \(n\) vaut \(7\) . Déterminer toutes les valeurs possibles de \(n\) .

Solution

D'après l'énoncé, on a d'une part :  \(\begin{align*}799=nq+19 \ \ \Longleftrightarrow \ \ nq=780\end{align*}\) avec \(q \in \mathbb{Z}\) et \(n>19\) , et d'autre part :  \(\begin{align*}891=nq'+7 \ \ \Longleftrightarrow \ \ nq'=884\end{align*}\)  avec \(q' \in \mathbb{Z}\) et \(n>7\) .

On en déduit que \(n\) est un diviseur commun à \(780\) et \(884\) , supérieur ou égal à \(20\) .

Les diviseurs communs   à \(780\) et \(884\)  sont les diviseurs de \(\mathrm{PGCD}(780;884)\) .

Déterminons ce PGCD en utilisant l'algorithme d'Euclide :

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r\\ \hline 884& 780& 1& 104\\ \hline 780& 104& 7& 52\\ \hline 104& 52& 2& 0\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  

donc \(\mathrm{PGCD}(780;884)=52\) .

On a donc  \(\begin{align*}\mathscr{D}(780;884)=\mathscr{D}(52)=\left\lbrace -52;-26;-13;-4;-2;-1;1;2;4;13;26;52 \right\rbrace.\end{align*}\)  

Les valeurs possibles pour \(n\) , qui sont les diviseurs de \(52\) supérieurs ou égaux à \(20\) , sont donc \(26\) et \(52\) .